Karl Branner wurde in der Kasseler Unterneustadt als Sohn eines Bäckermeisters geboren. Er studierte Wirtschaftswissenschaften, Geschichte und Soziologie an der Universität Göttingen. Der angestrebten wissenschaftlichen Karriere wurde 1939, zwei Jahre nach seiner Promotion, durch die Einberufung zur Wehrmacht ein plötzliches Ende gesetzt.
1949 kehrte er nach zehn verlorenen Jahren aus der Kriegsgefangenschaft zurück. Zunächst arbeitete Dr. Branner in der gewerkschaftlichen Bildungsarbeit, unterrichtete am Verwaltungsseminar und an der Volkshochschule.
1952 stieg er in die Kommunalpolitik ein und wurde bereits 1954 zum hauptamtlichen Beigeordneten für Wirtschaft und Verkehr und 1957 zum Bürgermeister in Kassel gewählt. Am 1. Februar 1963 wurde er als Nachfolger von Dr. Lauritz Lauritzen Oberbürgermeister seiner Heimatstadt Kassel.
Als Oberbürgermeister hat Karl Branner das nordhessische Oberzentrum nachhaltig geprägt. Sein Wirken war jedoch weit über die Stadt hinaus für die gesamte Region von Bedeutung. Projekte wie der Aufbau des Schlosses Wilhelmshöhe, der Einzug der Gemäldegalerie, die Verbesserung der Infrastruktur und vor allem die Gründung der Gesamthochschule Kassel tragen seine Handschrift.
Im politischen Umgang setzte Karl Branner auf Vernunft und Solidarität. Die harte Konfrontation lag ihm nicht. Stets setzte er auf Ausgleich und Toleranz. Seine heitere Verbindlichkeit machte ihn zu einem allseits beliebten Menschen. Diese Eigenschaften prägten auch seine Zeit als Bezirksvorsitzender der nordhessischen SPD, die er von 1970 bis 1974 führte. Als Ausdruck der großen Zuneigung der Sozialdemokraten zu ihrem „Karle Branner“ ernannten sie ihn zu ihrem Ehrenvorsitzenden.